Leesfragment

Wiskundigen tegen wil en dank

  • 8 augustus 2019
  • 10m

Ik besluit ons onderzoek te beginnen in het hart van de Franse hoofdstad: het Louvre. Wiskunde in het Louvre? Dat klinkt misschien vreemd. Deze voormalige koninklijke residentie is nu een museum en lijkt tegenwoordig vooral het domein van schilders, beeldhouwers, archeologen en historici, en niet zozeer van wiskundigen. Toch vinden we hier hun eerste sporen terug.

Bij aankomst in het museum vormt de majestueuze grote glazen piramide in het midden van de Cour Napoléon al een meetkundige uitdaging. Vandaag heb ik echter een afspraak met een veel verder verleden. Als ik het museum binnenloop, komt de tijdmachine meteen op gang. Ik loop de Franse koningen voorbij en reis terug door de renaissance en de middeleeuwen tot ik in de oudheid arriveer. Ik doorkruis zaal na zaal met Romeinse beelden, Griekse vazen en Egyptische sarcofagen, en loop verder. Nu ben ik in de prehistorie beland en tijdens mijn reis door de eeuwen moet ik gaandeweg alles vergeten: getallen, meetkunde en het schrift. In het begin wist niemand iets. Zelfs niet dat er iets te weten viel.

Onze eerste halte is Mesopotamië. Nu zijn we tienduizend jaar teruggegaan in de tijd.

Eigenlijk had ik nog verder terug kunnen gaan. Anderhalf miljoen jaar zelfs, naar het midden van het paleolithicum. De prehistorische mens kon vuur nog niet bedwingen en de homo sapiens verscheen pas veel later. We bevinden ons in het tijdperk van de homo erectus in Azië, de homo ergaster in Afrika en misschien van een aantal andere neven die nog ontdekt moeten worden. Dit is de oudere steentijd en de vuistbijl is populair.

In een hoekje van het kamp zijn steenhouwers aan het werk. Een van hen pakt een nieuw stuk vuursteen dat hij een paar uur eerder heeft opgeraapt. Hij gaat zitten, legt de steen op de grond, houdt hem met zijn ene hand vast en slaat met een zware steen in zijn andere hand op de rand. De eerste schilfer valt eraf. Hij bekijkt het resultaat, draait zijn vuursteen om en slaat er aan de andere kant nog eens op. Door die twee schilfers tegenover elkaar te verwijderen ontstaat er een scherpe rand aan de vuursteen. Vervolgens moet diezelfde handeling over de hele omtrek worden herhaald. Op sommige plaatsen is de vuursteen te dik of te breed en moeten er grotere stukken worden verwijderd om het uiteindelijke voorwerp de gewenste vorm te geven.

De vorm van de vuistbijl was immers niet aan het toeval of spontane inspiratie overgelaten. Het was een weldoordachte, bewerkte vorm die van generatie op generatie werd doorgegeven. Er bestaan verschillende modellen, afhankelijk van de periode en de plaats waar ze zijn vervaardigd. Sommige hebben de vorm van een waterdruppel met een scherpe punt, andere zijn meer afgerond en hebben het silhouet van een ei, terwijl weer andere meer op een gelijkbenige driehoek met licht gewelfde zijden lijken.

Toch hebben ze allemaal iets gemeen: een symmetrieas. Is er een praktische reden voor dat meetkundige aspect, of zouden onze voorouders louter uit esthetische overwegingen die vormen hebben gekozen? Dat is moeilijk te achterhalen. Het staat wel vast dat die symmetrie niet toevallig kan zijn ontstaan. De steenhouwer moest zijn slag voorbereiden. Hij moest over de vorm nadenken voordat hij die kon maken, zich een mentaal, abstract beeld vormen van het voorwerp. Met andere woorden: hij had wiskundig inzicht nodig.

Toen hij klaar was met de hele omtrek, bekeek de steenhouwer zijn nieuwe werktuig, hield het op armlengte tegen het licht om de ronding beter te kunnen zien, paste een paar scherpe randen aan met twee of drie extra klopjes tot hij tevreden was. Wat voelde hij op dat moment? Ervoer hij al die ongelooflijke euforie van een wetenschappelijke uitvinding: het gevoel te weten hoe hij de wereld kon begrijpen en vormgeven door een abstract idee? Hoe dan ook, de glorietijd van abstractie is nog niet aangebroken. Dit zijn vooral pragmatische tijden. De vuistbijl kan worden gebruikt om hout te hakken, vlees te snijden, huiden te doorboren of kuilen in de grond te graven.

Laten we niet zó ver teruggaan in de tijd. We laten dit verre verleden en die misschien al te gewaagde interpretaties rusten en keren terug naar het ware vertrekpunt van ons avontuur: de Mesopotamische streek in het achtste millennium voor onze jaartelling.

In de Vruchtbare Sikkel, een gebied dat ruwweg overeenstemt met het huidige Irak, was de neolithische revolutie volop aan de gang. Mensen kwamen zich hier sinds kort vestigen. Op de noordelijke plateaus waren de eerste sedentaire samenlevingen een succes en de regio was een laboratorium voor de laatste innovaties. De eerste dorpen ontstonden, met kleistenen huizen, waar de dapperste bouwers zelfs al een verdieping aan toevoegden. Landbouw was een nieuwe technologie. Door het milde klimaat kon het land zonder kunstmatige irrigatie worden bewerkt. Dieren en planten werden geleidelijk aan gedomesticeerd. Aardewerk zou binnenkort zijn intrede doen.

Laten we het eens over aardewerk hebben. Hoewel er uit die periode veel is verdwenen en door de tand des tijds onherroepelijk verloren is gegaan, blijft er iets over wat archeologen nog steeds in grote hoeveelheden vinden: potten, vazen, kruiken, schalen, kommen… De vitrines om mij heen in het Louvre zijn ermee gevuld. Het vroegste aardewerk dateert van negenduizend jaar geleden. De stukken wijzen ons de weg, als de steentjes van Klein Duimpje, van zaal naar zaal door de eeuwen heen. Het aardewerk heeft allerlei maten en vormen, en is op diverse manieren versierd, gebeeldhouwd, beschilderd of gegraveerd. Sommige exemplaren hebben een voet, andere oren. Er zijn kruiken en potten die intact zijn, maar ook gebarsten, gebroken of opnieuw samengesteld. Van sommige blijven slechts wat losse scherven over.

Keramiek was de eerste ‘kunst van het vuur’, lang voor brons, ijzer of glas. Met klei, de kneedbare grondsoort die in overvloed aanwezig was in vochtrijke gebieden, konden pottenbakkers allerlei voorwerpen boetseren. Als ze tevreden waren over de vorm, hoefden ze hun werk alleen maar een paar dagen te laten drogen en vervolgens op een hoge temperatuur te bakken om het te laten verharden. Dat was een oude, bekende techniek. Twintigduizend jaar eerder werden op dezelfde manier al beeldjes gemaakt. Pas sinds kort, door het sedentaire leven, kwamen mensen echter op het idee ook gebruiksvoorwerpen te maken van klei. Door de nieuwe levensstijl moesten voorraden bewaard kunnen worden en daarom werden enorm veel potten vervaardigd.

De terracotta kruiken werden algauw onmisbaar in het dagelijks leven en waren noodzakelijk voor de collectieve organisatie van het dorp. Als je dan toch duurzaam aardewerk maakte, kon je er net zo goed voor zorgen dat het er ook leuk uitzag. Keramiek werd dus al snel versierd en daarin bestaan verschillende scholen. Sommige pottenbakkers drukten hun motieven voor het bakken met een schelp of een eenvoudig twijgje in de natte klei. Anderen bakten het aardewerk eerst en graveerden er daarna hun versieringen in met een scherpe steen. Weer anderen beschilderden het oppervlak liever met natuurlijke pigmenten.

Als ik door de zalen van de afdeling Oosterse oudheden loop, valt me op hoe weelderig de geometrische patronen van de Mesopotamiërs zijn. Net als bij de vuistbijl van onze oude steenhouwer, zijn bepaalde symmetrieën zo ingenieus dat er ongetwijfeld een lang denkproces aan vooraf is gegaan. Vooral de friezen op de rand van de vazen trekken mijn aandacht.

Friezen zijn versierde stroken met eenzelfde motief dat over de hele omtrek van de vaas wordt herhaald. Een van de vaakst voorkomende motieven is een driehoekig getand patroon. Er bestaan ook friezen met twee in elkaar gedraaide touwen. Daarnaast zijn er kepervormige friezen; vierkante, kanteelvormige friezen; friezen met ruiten met stippen, gearceerde driehoeken, in elkaar grijpende cirkels, enzovoort.

Naar gelang het gebied en het tijdperk zijn er merkbare trends. Bepaalde motieven zijn heel populair. Ze worden op verschillende manieren overgenomen, aangepast en verbeterd. Een paar eeuwen later raken ze in onbruik, zijn ze passé en worden ze vervangen door andere tekeningen die op dat moment in de mode zijn.

Het ene patroon na het andere flitst voorbij en mijn wiskundig oog licht op. Ik zie de symmetrieën, rotaties en translaties in de motieven. In mijn hoofd begin ik ze te sorteren en te rangschikken. Enkele stellingen uit mijn studietijd schieten me weer te binnen. Ik heb de indeling van geometrische transformaties nodig. Met een potlood begin ik in mijn schriftje te krabbelen.

Eerst en vooral, de rotaties. Voor me zie ik een fries met een patroon van in elkaar grijpende s-vormen, de ene achter de andere. Ik kantel mijn hoofd om zeker te zijn. Jawel, het klopt, het motief is onveranderlijk bij een halve draai: als ik de kruik ondersteboven zou houden, blijft het fries er precies hetzelfde uitzien.

Vervolgens zijn er symmetrieën. Hier bestaan verschillende soorten van. Geleidelijk aan maak ik mijn lijst compleet en daarna kan de speurtocht beginnen. Bij elke geometrische transformatie zoek ik het corresponderende fries. Ik loop van de ene zaal naar de andere en terug. Sommige stukken zijn beschadigd, waardoor ik mijn ogen halfdicht moet knijpen om de motieven te reconstrueren die duizenden jaren geleden op deze klei stonden. Als ik een nieuw patroon vind, vink ik het af. Ik kijk naar de data en probeer de motieven chronologisch te rangschikken.

Hoeveel moet ik er in totaal vinden? Na wat denkwerk slaag ik er uiteindelijk in die beroemde stelling weer voor de geest te halen. Er zijn in totaal slechts zeven categorieën friezen. Zeven verschillende groepen van geometrische transformaties waardoor het patroon onveranderlijk blijft. Niet één meer, niet één minder.

Natuurlijk wisten de Mesopotamiërs dat niet. En wel om een goede reden, want de theorie in kwestie werd pas in de renaissance voor het eerst geformaliseerd. Zonder het te weten en met als enige doel hun aardewerk met een harmonieus en origineel ontwerp te versieren, zetten de prehistorische pottenbakkers echter de allereerste stappen in een geweldige discipline waar een hele gemeenschap wiskundigen zich duizenden jaren later op zou concentreren.

Ik bekijk mijn notities en ik heb bijna alle categorieën gevonden. Bijna? Een van die zeven friezen ontbreekt nog. Het verrast me niet echt, want het is duidelijk het ingewikkeldste van de lijst. Ik zoek een fries dat er hetzelfde uitziet als je het horizontaal omdraait, maar met een halve lengte van het motief verschuift. Tegenwoordig heet dat een glijspiegeling. Een ware uitdaging voor onze Mesopotamiërs!

Er zijn echter nog meer zalen, dus ik geef de hoop niet op. De jacht gaat verder. Ik observeer elk detail, de kleinste aanwijzing. De zes andere categorieën die ik al heb gevonden, blijven terugkeren. In mijn schriftje beginnen de data, schetsen en andere krabbels door elkaar te lopen. Nog steeds geen teken van het mysterieuze zevende fries.

Plotseling voel ik de adrenaline door mijn lijf stromen. Achter het glas voor me heb ik net iets opgemerkt. Het ziet er wat zielig uit, het is slechts een scherf. Van boven naar beneden staan op de scherf echter nog vier duidelijk zichtbare stukken van friezen naast elkaar en één daarvan heeft meteen mijn aandacht getrokken. Het derde vanaf de bovenkant. Het fries bestaat uit schijnbaar hellende rechthoeken die kepervormig in elkaar grijpen. Ik knipper even met mijn ogen. Ik kijk er aandachtig naar en schets snel het motief in mijn schriftje, alsof ik bang ben dat het voor mijn ogen zal verdwijnen. Het klopt geometrisch. Dit is wel degelijk een glijspiegeling. Het zevende fries is ontmaskerd.

Naast het stuk staat op het bijschrift: Scherf van een drinkbeker met een horizontale versiering van stroken met ruiten met stippen – midden vijfde millennium v.Chr.

Ik plaats het stuk in gedachten in mijn chronologische overzicht. Midden vijfde millennium voor Christus. We bevinden ons nog in de prehistorie. Meer dan duizend jaar voor de uitvindingvan het schrift hadden de Mesopotamische pottenbakkers – zonder het zelf te beseffen – alle mogelijkheden van een stelling uitgewerkt die pas zesduizend jaar later zou worden geformuleerd en bewezen.

Een paar zalen verder zie ik een kruik met drie oren die ook in de zevende categorie thuishoort: al kreeg het motief hier de vorm van een spiraal, de geometrische structuur blijft hetzelfde. Iets verderop vind ik er nog een paar. Ik wil verdergaan, maar het decor verandert ineens, want ik ben aan het einde gekomen van de Oosterse collectie. Als ik doorloop, kom ik in Griekenland terecht. Ik bekijk mijn notities nog een laatste keer. De friezen met een glijspiegeling zijn op één hand te tellen. Ik heb veel geluk gehad.

 

Hoe herken je de zeven categorieën friezen?

De eerste categorie zijn friezen die geen specifieke geometrische eigenschappen hebben. Gewoon een motief dat wordt herhaald, zonder symmetrieën of draaipunten. Dat is met name het geval voor friezen die niet op geometrische figuren zijn gebaseerd, maar op figuratieve tekeningen, zoals dieren.

De tweede categorie omvat de exemplaren waarvan de horizontale lijn die het fries in tweeën snijdt een symmetrieas is.

In de derde categorie zitten friezen met een verticale symmetrieas. Aangezien het fries uit een horizontaal, repetitief patroon bestaat, worden ook de verticale symmetrieassen herhaald.

De vierde categorie bestaat uit friezen die onveranderlijk blijven bij een rotatie van een halve slag. De friezen kunnen ondersteboven worden gekeerd en blijven er precies hetzelfde uitzien.

De vijfde categorie bestaat uit glijspiegelingen. Dat is de befaamde categorie die ik als laatste ontdekte in de Mesopotamische afdeling. Als je een van die friezen spiegelt langs een horizontale symmetrieas (dezelfde als in de tweede categorie), krijg je een gelijkwaardig fries dat met de lengte van de helft van het motief is verschoven.

De zesde en zevende categorie vertonen geen nieuwe geometrische transformaties, maar combineren verschillende eigenschappen die we in de vorige categorieën hebben gezien. De friezen van de zesde categorie vertonen horizontale en verticale symmetrie, in combinatie met een rotatie van een halve slag.

In de zevende categorie zitten friezen met een verticale symmetrie, een rotatie en een glijspiegeling.

Het is belangrijk om te weten dat die categorieën alleen betrekking hebben op de geometrische structuur van de friezen en dat bepaalde vormvariaties van de patronen mogelijk zijn. De volgende friezen behoren bijvoorbeeld allemaal tot de zevende categorie, hoewel ze sterk van elkaar verschillen.

Alle friezen die we ons kunnen voorstellen behoren dus tot een van die zeven categorieën. Elke andere combinatie is geometrisch onmogelijk. Vreemd genoeg komen de laatste twee categorieën het vaakst voor. Het is makkelijker om figuren met veel symmetrie te tekenen dan figuren met weinig symmetrie.

Trots als een pauw na mijn Mesopotamische successen, keer ik de volgende dag terug om de Griekse oudheid in te duiken. Ik ben nog maar net gearriveerd en ik weet al niet meer waar te beginnen. Hier is de jacht op friezen een kinderspel. Ik hoef maar een paar stappen te zetten, een paar vitrinekasten en zwarte amforen met rode figuren te bekijken en mijn lijstje van zeven friezen is compleet.

Door die overvloed houd ik algauw op met het bijhouden van statistieken, zoals ik bij Mesopotamië. had gedaan. De creativiteit van de kunstenaars is verbluffend. Nieuwe, almaar complexere en ingenieuzere patronen verschijnen. Verschillende keren moet ik stoppen en me goed concentreren om in mijn gedachten de met elkaar verweven lijnen die om me heen wervelen, te ontwarren.

In een hoekje van een zaal blijf ik sprakeloos van verbazing voor een loutrophoros staan.

Een loutrophoros of loutrofoor is een langwerpige kruik van bijna een meter hoog met twee oren die gebruikt werd om badwater aan te dragen. De kruik staat vol friezen en ik begin ze per categorie op te noemen. Een. Twee. Drie. Vier. Vijf. In een paar seconden vind ik vijf van de zeven geometrische structuren. De vaas staat dicht tegen de muur, maar als ik me een beetje vooroverbuig, kan ik zien dat er een fries uit de zesde categorie op de verborgen zijde staat. Nu ontbreekt er nog één. Het zou natuurlijk al te mooi zijn. Verrassend genoeg is de ontbrekende categorie niet dezelfde als die van gisteren. De tijden zijn veranderd, de smaak ook. Ik mis de afzonderlijke glijspiegeling niet meer, maar wel de combinatie van verticale symmetrie, rotatie en glijspiegeling.

Ik blijf verwoed zoeken, bekijk elk hoekje van het voorwerp, maar ik vind de categorie niet. Een beetje teleurgesteld geef ik het bijna op, maar dan blijft mijn blik op een detail rusten. In het midden van de vaas is een tafereel met twee figuren afgebeeld. Op het eerste gezicht lijkt er op die plaats geen fries aanwezig. Rechtsonder in het tafereel wordt mijn aandacht echter door een voorwerp getrokken: een vaas waarop de centrale figuur leunt. Een vaas die op een vaas is getekend! Het droste-effect alleen al doet me glimlachen. Ik knijp mijn ogen half-dicht om het tafereel beter te zien. De afbeelding is een beetje beschadigd, maar er is geen twijfel mogelijk: de getekende vaas heeft zelf een fries en wonder boven wonder is het er eentje uit de nog ontbrekende categorie!

Ondanks herhaalde pogingen, vind ik geen enkel ander stuk met diezelfde eigenschappen. Deze loutrofoor lijkt uniek te zijn in de collecties van het Louvre: de enige die met friezen uit alle zeven categorieën is versierd.

Een beetje verderop wacht me nog een verrassing. Friezen in 3d! Ik dacht dat perspectief een uitvinding uit de renaissance was. De donkere en lichtere delen die de kunstenaar met veel vakmanschap heeft aangebracht, creëren een spel tussen licht en schaduw, wat volume geeft aan de opeenvolgende geometrische vormen op de omtrek van deze gigantische kruik.

Hoe verder ik loop, hoe meer vragen ik heb. Sommige exemplaren zijn niet met friezen maar met vlakken bedekt. De geometrische patronen vullen met andere woorden niet langer slechts een dunne strook om het voorwerp heen, maar nemen nu het hele oppervlak ervan in, waardoor de mogelijkheden voor geometrische combinaties toenemen.

Na de Grieken komen de Egyptenaren, Etrusken en Romeinen. Ik ontdek een kantwerk uit steen. De stenen draden zijn verstrengeld, passeren afwisselend boven en onder elkaar in een perfect regelmatig maaswerk. Vervolgens, alsof de kunstwerken niet genoeg zijn, merk ik dat ik het Louvre zelf begin te

observeren. De plafonds, de tegels, de deurlijsten. Op weg naar huis kan ik er niet mee ophouden. Op straat kijk ik naar de balkons van gebouwen, de patronen op de kleren van voorbijgangers, de muren en gangen van de metro, enzovoort.

Je hoeft alleen maar je blik op de wereld te veranderen om overal wiskunde te zien. De zoektocht is fascinerend en eindeloos.

En het avontuur is nog maar net begonnen.

 


Nieuws

Nu in de winkel en online

De bekendste klokkenluider ter wereld. Mijn verhaal

In 2013 schokte de 29-jarige Edward Snowden de wereld toen hij brak met de Amerikaanse geheime diensten en onthulde dat ze in het allergrootste geheim proberen al ons digitale verkeer – elk telefoontje, elk bericht, elke e-mail – op onvoorstelbaar grote schaal te verzamelen en vast te leggen. Van …

Lees verder